Frank P. Ramsey

"Cuestiones de lógica en tautologías, matemáticas en identidades, filosofía en definiciones; todo trivial, pero todo parte del trabajo vital de clarificación y organización de nuestro pensamiento."

"Los términos de arte y ciencia, sin embargo, han de ser definidos, aunque no necesariamente de forma nominal; por ejemplo, nosotros definimos la masa explicando cómo se mide, pero ésta no es una definición nominal. Simplemente le confiere al término masa dentro de una estructura teórica una clara relación con ciertos hechos experimentales. Los términos que no necesitamos definir son aquellos que sabemos que podríamos definir si surge la necesidad, como silla o aquellos que como ´clubs" (demanda de tarjetas) podemos traducir fácilmente de forma visual o mediante algún otro lenguaje, pero no podemos convenientemente expandirnos en el uso de las palabras.

La solución a lo que llamamos un "problema genérico de definición" es naturalmente una descripción de las definiciones inherentes, desde las cuales aprendemos cómo formar la actual definición en cualquier caso particular. Eso que tan a menudo parece carecer de definiciones actuales obedece a la causa de que la definición nominal es inapropiada y por ello se precisa una explicación mediante símbolos.

Pero esto no afecta a la que podemos suponer como verdadera dificultad. Porque hemos dicho que sólo se aplica al caso en el que la palabra sea meramente descrita (concebida como una entre tantas), su definición o explicación es también, desde luego, simplemente descrita de una manera que cuando la actual palabra es dada, su actual definición pueda ser derivada. Pero éstos son otros casos en los cuales la palabra para ser definida al ser dada, nosotros a cambio no ofrecemos una definición de la misma sino un estado de su significado envuelto en las entidades de tal o cual tipo en tal y tal forma, por ejemplo un estado que nos daría una definición si tuviéramos nombres para estas entidades."

Frank P. Ramsey

Escritos filosóficos

"Se me ha pedido que hable acerca de los desarrollos en lógica matemática desde la publicación de Principia Mathemática, y creo que sería de lo más interesante si en lugar de describir las diversas mejoras definidas en detalle, discutiera a grandes rasgos el trabajo que se ha hecho sobre líneas completamente distintas y que reclama sustituir completamente a la posición considerada por Whitehead y Russell acerca de la naturaleza de las matemáticas y sus fundamentos lógicos.

Comenzaré recordando cuál es la posición de Whitehead y Russell: es que las matemáticas son parte de la lógica formal, que todas las ideas de las matemáticas puras pueden definirse en términos que no son distintivamente matemáticos sino que están implicados en el complicado pensamiento de cualquier descripción y que todas las proposiciones de las matemáticas pueden deducirse de proposiciones de la lógica formal, tales como que si p es verdadero, entonces o p o q es verdadero. Esta concepción me parece plausible en sí misma, porque tan pronto como la lógica se ha desarrollado más allá de su viejo núcleo silogístico, podemos esperar tener junto con las formas “todos los hombres son mortales”, “algunos hombres son mortales”, las formas numéricas “dos hombres son mortales” y “tres hombres son mortales”, y el número tendrá que incluirse en la lógica formal.

Frege fue el primero en mantener que las matemáticas eran parte de la lógica y en construir una teoría detallada sobre esta base. Pero cayó víctima de las famosas contradicciones de la teoría de los agregados, y pareció que podían deducirse consecuencias contradictorias de sus proposiciones primitivas. Whitehead y Russell escaparon a este destino introduciendo su Teoría de los Tipos, de la cual es imposible aquí dar un tratamiento adecuado. Pero una de sus implicaciones debe explicarse si queremos que sean inteligibles desarrollos posteriores.

Supongamos que tenemos un conjunto dado de características como todas las características de una cierta clase, digamos A, entonces podemos preguntar acerca de si algo tiene una característica de la clase A. Si la tiene, esto será otra característica de eso, y se plantea la cuestión de si esta característica, la característica de tener una característica del tipo A, puede ser ella misma del tipo A, viendo que presupone la totalidad de tales características. La Teoría de los Tipos mantenía que no podía, y que solo podríamos escapar a la contradicción diciendo que era una característica de orden superior, y que no podría incluirse en un enunciado acerca de todas las características de orden inferior. Y más generalmente que cualquier enunciado acerca de todas las características debe considerarse como si significara todas las de un cierto orden. Esto pareció plausible en sí mismo, y también el único modo de evitar ciertas contradicciones que aparecían al confundir estos órdenes de características. Whitehead y Russell mantuvieron también que los enunciados acerca de clases o agregados tienen que considerarse como si realmente fueran acerca de las características que definen las clases (siempre siendo una clase dada la clase de las cosas que poseen un cierto carácter), de tal modo que cualquier enunciado acerca de todas las clases será realmente acerca de todas las características, y estará sometido a las mismas dificultades en relación al orden de estas características.

Esta teoría fácilmente nos permite evitar las contradicciones de la Teoría de los Agregados, pero tiene también desafortunada consecuencia de invalidar un tipo común e importante de argumento matemático, la clase de argumento mediante el cual en última instancia establecemos la existencia de un límite superior de un conjunto, o la existencia de un límite de una sucesión monotónica acotada. Es usual deducir estas proposiciones a partir del principio del corte de Dedekind, que si los números reales se dividen completamente en una clase superior y en una clase inferior, debe haber un número que los divida que será el menor de la clase superior o el mayor de la inferior. Esto a su vez se prueba considerando a los números reales como cortes de racionales; cortes de racionales son un tipo particular de clases de racionales, y así un enuncia- do acerca de números reales será un enunciado acerca de un tipo de clase de racionales, que es acerca de un tipo de características de racionales y las características en cuestión tendrán que limitarse a ser de un cierto orden.

Esto significa que el análisis tal como se entiende comúnmente está completamente fundado sobre un tipo de argumento falaz, que cuando se aplica en otros campos lleva a resultados autocontradictorios.

Whitehead y Russell tratan de evitar esta desafortunada consecuencia de la Teoría de los Tipos introduciendo el Axioma de Reducibilidad, que afirma que para toda característica de orden superior hay una característica equivalente del orden más bajo equivalente en el sentido de que todo lo que tiene la una lo tiene la otra, de tal modo que definen la misma clase. El límite superior, que vimos que era una clase de racionales definida mediante una característica de orden superior sería entonces definido también mediante una característica equivalente de orden inferior, y sería un número real. Desafortunadamente este axioma no es ciertamente autoevidente, y no hay razón alguna para suponer que es verdadero. Si fuera verdadero esto sería, por así decirlo, un feliz accidente, y no sería una verdad lógica como las otras proposiciones primitivas. En la Segunda Edición de Principia Mathemática, de la cual el primer volumen se publicó el año pasado, el Sr. Russell ha mostrado cómo la inducción matemática, para la que el Axioma de Reducibilidad parece también exigirse, puede establecerse sin él, pero no mantiene ninguna esperanza de un éxito similar con la Teoría de los Números Reales, para la que el ingenioso método usado para los números enteros no está disponible. La materia se ha dejado así en una condición profundamente insatisfactoria.

Esto fue apuntado por Weyl, quien publicó en 1918 un librito llamado Das Kontinuum, en el que rechazaba el Axioma de Reducibilidad y aceptaba la consecuencia de que el análisis común estaba equivocado. Mostró, sin embargo, que varios teoremas, como el Principio General de Convergencia de Cauchy, todavía podían probarse. Desde entonces Weyl ha cambiado su posición y se ha convertido en un seguidor de Brouwer, el líder de lo que se conoce como la escuela intuicionista, cuya doctrina principal es la negación de la Ley del Tercero Excluido, que toda proposición es o verdadera o falsa. Se la niega aparentemente porque se piensa que es im- posible conocer tal cosa a priori, e igualmente imposible conocerla por experiencia, porque si no sabemos que es o verdadera o falsa no podemos verificar que es o verdadera o falsa. Brouwer rehusaría conceder que o estaba lloviendo o no estaba lloviendo, a menos que hubiera mirado a ver. Aunque es ciertamente difícil dar una explicación científica de nuestro conocimiento de las leyes de la lógica, no me puedo convencer de que no sé con certeza que la Ley del Tercero Excluido es verdadera; por supuesto que no puede probarse, aunque Aristóteles dio el siguiente argumento ingenioso en su favor. Si una proposición no es ni verdadera ni falsa, llamémosla dudosa; pero entonces si la Ley del Tercero Excluido es falsa, no tiene que ser ni dudosa ni no dudosa, así no tenemos simplemente tres posibilidades sino cuatro, que es verdadera, que es fal- sa, que es dudosa, y que no es ni verdadera, ni falsa, ni dudosa. Y así sucesivamente ad infinitum."

Frank P. Ramsey

Recensión sobre Lógica Matemática 

"Siempre he dicho que una creencia era conocimiento si era (i) verdadera, (ii) cierta, (iii) ob- tenida mediante un proceso fiable. Pero la palabra “proceso” es muy insatisfactoria; podemos llamar a la inferencia un proceso, pero incluso entonces no fiable parecen hacer referencia sólo a un método falaz, no a premisas falsas como se supone que [debería] hacer. ¿Podemos decir que

Siempre he dicho que una creencia era conocimiento si era (i) verdadera, (ii) cierta, (iii) obtenida mediante un proceso fiable. Pero la palabra "proceso" es muy insatisfactoria; podemos llamar a la inferencia un proceso, pero incluso entonces no fiable parecen hacer referencia sólo a un método falaz, no a premisas falsas como se supone que [debería] hacer. ¿Podemos decir que un recuerdo se obtiene mediante un proceso fiable? Creo que quizás podemos si nos referimos al proceso causal que conecta lo que ocurre con el hecho de que lo recuerde. Entonces podríamos decir, una creencia obtenida mediante un proceso fiable tiene que estar causada por lo que en cierta forma no son creencias o con acompañamientos que pueden ser más o menos fiables para dar creencias verdaderas, y si en esta cadena causal concurren otras creencias intermedias, estas tienen que ser todas verdaderas.

Por ejemplo “¿Es conocimiento la telepatía?” puede querer decir: (a) Suponiendo que haya un proceso tal, ¿podría ser fiable para crear creencias verdaderas en el telépata (dentro de algunos límites, p. e cuando lo que se cree es acerca de los pensamientos del telépata o (b) Suponiendo que seamos agnósticos ¿el sentimiento de ser conectado telepáticamente garantiza la verdad? Lo mismo digo para la intuición femenina, impresiones del carácter, etc. Quizá no deberíamos decir (iii) obtenida mediante un proceso fiable, sino (iii) formada por un camino fiable. Decimos “lo sé”, sin embargo, siempre que estamos seguros, sin reflexionar acerca de la fiabilidad. Pero si meditáramos entonces deberíamos mantenernos seguros si, y solo si, creyéramos que el camino es fiable. (Supongamos que lo sabemos; si no, sería lo mismo tomarlo meramente como una descripción, por ejemplo, Dios lo puso en mi mente: un proceso supuestamente fiable.) Porque pensar que el camino es fiable es simplemente formular en un [enunciado] hipotético variable el hábito de seguir el camino.

Otra cosa más. Russell dice en sus Problems of Philosophy que no hay duda de que a veces estamos equivocados, de modo que todo nuestro conocimiento está infectado con algún grado de duda. Moore solía negar esto, diciendo que por supuesto esto era auto-contradictorio, que es mera pedantería e ignorancia del tipo de conocimiento propuesto. Pero substancialmente el asunto es éste: no podemos decir sin auto- contradicción p y q y r y ... y una de las p, q, r ... es falsa. (N.B. Sabemos lo que sabemos, de otra forma no habría contradicción). Pero podemos estar prácticamente seguros de que una es falsa y sin embargo casi seguros de cada una de ellas; pero p, q, r están entonces infectadas con la duda. Pero Moore está en lo cierto al decir que no están todas infectadas necesariamente; pero si exceptuamos algunas, probablemente nos aclararemos bastante acerca de que una de las exceptuadas está probablemente equivocada, y así sucesivamente."

Frank P. Ramsey

Conocimiento